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Periodische Funktion Beispiel Essay

Was sind periodische Vorgänge?

Es gibt Vorgänge, die sich im gleichen Zeitraum oder in gleichen Abständen immer genau gleich wiederholen. Solche Vorgänge nennt man periodische Vorgänge.

Beispiele

  • Ein Kühlschrank ist auf eine bestimmte Temperatur eingestellt. Der ungeöffnete Kühlschrank erwärmt sich bis zu einer gewissen Temperatur und wird dann wieder auf die Ausgangstemperatur herab gekühlt. Dieser Vorgang wiederholt sich in bestimmten Abständen. Bei etwas älteren Modellen kann man dieses Abkühlen auch hören.
  • Die Atmung eines Menschen ist periodisch.
  • Jeder Wochentag wiederholt sich alle sieben Tage. Auch dies ist ein periodischer Vorgang.
  • Du hast jedes Jahr am gleichen Tag Geburtstag.

Die kleinste Länge (der kleinste Zeitraum) nach dem sich ein Vorgang wiederholt, wird als Periodenlänge (Periodendauer) $T$ bezeichnet.

Die Frequenz $f$ eines periodischen Vorganges gibt, an wie oft sich der periodische Vorgang in einem gegebenen Zeitraum $Z$ wiederholt. Sie lässt sich wie folgt berechnen.

$\quad f=\frac1T\cdot Z$

Mit diesen Größen lassen sich periodische Vorgänge beschreiben.

Periodenlänge und Frequenz

Schau dir nochmal die obigen Beispiele an:

  • Die Periode des Abkühlens bei einem Kühlschrank hängt sicher von den entsprechenden Temperaturen ab. Sei die Periode zum Beispiel $10~min$, dann kann damit die Frequenz berechnet werden. Die Frequenz gibt an, wie häufig sich der periodische Vorgang in einem gegebenen Zeitraum wiederholt. Willst du wissen, wie oft sich der Aufwärm- und Abkühlvorgang beim Kühlschrank in einer Stunde, also $60~min$ wiederholt, rechnest du

$\quad ~~ f=60~min~\cdot ~\frac 1{10~min}= 6 $

  • Die Periode bei der menschlichen Atmung beträgt ungefähr $3~s$. Damit kann die Häufigkeit der Atmung pro Minute berechnet werden. Diese Zahlen variieren natürlich.

$\quad ~~ f= 60~s~\cdot\frac 1{3~s}= 20 $

  • Die Periode von Wochentagen ist $T=7$ Tage. Alle $7$ Tage wiederholt sich der Vorgang genau einmal.
  • Dein Geburtstag wiederholt sich jedes Jahr. Also ist die Periode $1$ Jahr.

Die Sinusfunktion

Die Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ ist ein Beispiel für eine periodische Funktion.

Eine Funktion $f(x)$ ist eine periodische Funktion, wenn mindestens eine Zahl $p$ existiert, dass für alle $x$ gilt $f(x+p)=f(x)$. Die kleinste Zahl, die dies erfüllt, ist die Periodenlänge.

Hier siehst du den Graphen der Sinusfunktion.

Erkennst du die Periodenlänge? Richtig: Diese ist $2~\pi$.

$\pi=3,1415...$ ist die sogenannte Kreiszahl.

Modellierung von periodischen Vorgängen

Mit Hilfe der Sinusfunktion können periodische Vorgänge modelliert werden:

$f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$

Hierfür benötigst du

  • den maximalen Wert,
  • den minimalen Wert sowie
  • das arithmetische Mittel dieser beiden Werte.

Wie können nun die einzelnen Parameter bestimmt werden?

Dafür betrachten wir als Beispiel die menschliche Atmung.

Ein Mensch atmet pro Minute 20 mal ein und aus. Dadurch ändert sich das Lungenvolumen. Am Ende einer Einatmung befinden sich ungefähr $6,5~L$ Luft in der Lunge, am Ende einer Ausatmung $1,2~L$. Das Befüllen und Entleeren der Lunge kann als periodischer Prozess modelliert werden.

  • Der maximale Wert ist $6,5~L$,
  • der minimale $1,2~L$.
  • Das arithmetische Mittel beträgt

$\quad~~ \frac{6,5+1,2}2=3,85~L$

Die Periode ist gegeben durch $T=\frac{60~s}{20}=3~s$ und die Frequenz (pro Minute) ist die angegebene Zahl der Atemzüge $20$.

  • Der Parameter $a$ steht für die Amplitude. Dies ist die maximale Abweichung der Werte von dem arithmetischen Mittel. Hier ist

$\quad~~ a=\frac{6,5-1,2}2=2,65$

  • Der Paramater $b$ berechnet sich wie folgt

$\quad~~ b=\frac{2~\pi}T=\frac{2~\pi}3\approx 2,09$

  • Der Parameter $d$ ist der Wert, an dem erstmals das arithmetische Mittel angenommen wird, bevor ein maximaler Wert erreicht wird. Wenn man zum Beispiel $x=0$ als Beginn einer Einatmung betrachtet, dann ist $d=0$.
  • Der Parameter $e$ ist das arithmetische Mittel, also $e=3,85$.

Gesamt ist die menschliche Atmung somit modelliert durch

$f(x)=2,65\cdot \sin(2,09x)+3,85$

Der zugehörige Verlauf ist hier zu sehen.

In rot hervorgehoben ist der Verlauf der periodischen Funkion auf einer Periodenlänge $[0;3]$.

In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte werden Periode genannt. Periodische Folgen können als Spezialfälle der periodischen Funktionen verstanden werden.

Reelle periodische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reelle Zahl ist eine Periode einer in definiertenFunktion, wenn gilt:

Die Funktion ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode zulässt. Man sagt dann auch, sei „-periodisch“.

Eigenschaften der Menge der Perioden und Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:

Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0.) Wenn eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von die Vielfachen von . Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von dicht in .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bekannte periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, insbesondere der Sinus, der eine immer gleich bleibende Schwingung zwischen –1 und 1 durchführt, die sich im Abstand von ( ist die Kreiszahl Pi) wiederholt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der periodischen Funktion beschränkt sich nicht nur auf reelle Funktionen. Man kann ihn allgemeiner Definieren für Funktionen, auf deren Quellmenge eine Addition erklärt ist.

Sei also eine (additive) Halbgruppe, eine Menge und eine Funktion. Existiert ein mit

für alle , dann heißt die Funktion periodisch mit Periode .[1]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Periodische Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Periodische Folge

Da eine reelle Folge eine Funktion von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen ist, kann der Begriff der periodischen Folge als Spezialfall einer periodischen Funktion aufgefasst werden. Eine Folge heißt periodische, falls es ein gibt, so dass für alle die Gleichheit gilt. Hierbei wurde ausgenutzt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Halbgruppe ist.

Periodische Funktionen als Funktionen auf der Kreislinie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf mit Periode mit Funktionen auf identifizieren: Einer Funktion auf entspricht die -periodische Funktion

.

Hierbei ist eine Funktion auf dem Einheitskreis, also einer Teilmenge der komplexen Zahlen. Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.

Beispielsweise entsprechen Fourier-Reihen unter dieser Abbildung den Laurent-Reihen.

Periodische Funktionen auf reellen Vektorräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum, z. B. . Eine Periode einer stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion auf oder einem (offenen, zusammenhängenden) Teil von ist ein Vektor , so dass

Die Menge aller Perioden von ist eine abgeschlosseneUntergruppe von . Jede solche Untergruppe ist die direkte Summe aus einem Untervektorraum von und einer diskreten Untergruppe; letztere lässt sich beschreiben als die Menge der ganzzahligen Linearkombinationen einer Menge linear unabhängiger Vektoren.

Wendet man diese Theorie auf den reell zweidimensionalen Vektorraum an und betrachtet nur holomorphe Funktionen , so gibt es die folgenden Fälle:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Periodische Funktion. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8. 
Illustration einer periodischen Funktion mit der Periode .
Graph der Sinusfunktion